Вероятность условная совместная вероятность. Условная вероятность, независимость событий. Статистическое определение вероятности

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Во многих задачах приходится находить вероятность совмещения событий А и В , если известны вероятности событий А и В .

Рассмотрим следующий пример. Пусть брошены две монеты. Найдем вероятность появления двух гербов. Мы имеем 4 равновероятных попарно несовместных исхода, образующих полную группу:

	1-я монета	2-я монета
1-й исход	герб	герб
2-й исход	герб	надпись
3-й исход	надпись	герб
4-й исход	надпись	надпись

Таким образом, P(герб,герб)=1/4 .

Пусть теперь нам стало известно, что на первой монете выпал герб. Как изменится после этого вероятность того, что герб появится на обеих монетах? Так как на первой монете выпал герб, то теперь полная группа состоит из двух равновероятных несовместных исходов:

	1-я монета	2-я монета
1-й исход	герб	герб
2-й исход	герб	надпись

При этом только один из исходов благоприятствует событию (герб, герб). Поэтому при сделанных предположениях Р(герб,герб)=1/2 . Обозначим через А появление двух гербов, а через В - появление герба на первой монете. Мы видим, что вероятность события А изменилась, когда стало известно, что событие B произошло.

Новую вероятность события А , в предположении, что произошло событие B , будем обозначать P B (А) .

Таким образом, Р(A)=1/4; P B (А)=1/2

Теорема умножения. Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т. е.

P(AB)=P(A)P A (B)

(4)

Доказательство. Докажем справедливость соотношения (4), опираясь на классическое определение вероятности. Пусть возможные исходы Е 1 , Е 2 , ..., Е N данного опыта образуют полную группу равновероятных попарно несовместных событий, из которых событию A благоприятствуют M исходов, и пусть из этих M исходов L исходов благоприятствуют событию B . Очевидно, что совмещению событий A и B благоприятствуют L из N возможных результатов испытания. Это дает ; ;
Таким образом,
Поменяв местами A и B , аналогично получим
Теорема умножения легко обобщается на любое, конечное число событий. Так, например, в случае трех событий A 1 , A 2 , A 3 имеем *
В общем случае

Из соотношения (6) вытекает, что из двух равенств (8) одно является следствием другого.

Пусть, например, событие A - появление герба при однократном бросании монеты, а событие B - появление карты бубновой масти при вынимании карты из колоды. Очевидно, что события A и B независимы.

В случае независимости событий A к B формула (4) примет более простой вид:

* Событие A 1 A 2 A 3 можно представить как совмещение двух событий: события C=A 1 A 2 и события A 3 .

Определение 1. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность появления события А зависит от того, произошло или не произошло событие В. Вероятность того, что произошло событие А при условии, что произошло событие В, будем обозначать и называть условной вероятностью события А при условии В.

Пример 1. В урне находится 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар (первое вынимание), а затем второй (второе вынимание). Событие В - появление белого шара при первом вынимании. Событие А - появление белого шара при втором вынимании.

Очевидно, что вероятность события А, если событие В произошло, будет

Вероятность события Л при условии, что событие В не произошло (при первом вынимании появился черный шар), будет

Видим, что

Теорема 1. Вероятность совмещения двух событий равняется произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е.

Доказательство. Доказательство приведем для событий, которые сводятся к схеме урн (т. е. в случае, когда применимо классическое определение вероятности).

Пусть в урне шаров, при этом белых, черных. Пусть среди белых шаров шаров с отметкой «звездочка», остальные чисто белые (рис. 408).

Из урны вынимается один шар. Какова вероятность события вынуть белый шар с отметкой «звездочка»?

Пусть В - событие, состоящее в появлении (белого шара, А - событие, состоящее в появлении шара с отметкой «звездочка». Очевидно,

Вероятность появления белого шара со «звездочкой при условии, что появился белый шар, будет

Вероятность появления белого шара со «звездочкой» есть Р (А и В). Очевидно,

Подставляя в (5) левые части выражений (2), (3) и (4), получаем

Равенство (1) доказано.

Если рассматриваемые события не укладываются в классическую - схему, то формула (1) служит для определения условной вероятности. А именно, условная вероятность события А при условии осуществления события В опрёделяется с помощью

Замечание 1. Применим последнюю формулу к выражению :

В равенствах (1) и (6) левые части равны, так как это одна и та же вероятность, следовательно, равны и правые. Поэтому можем написать равенство

Пример 2. Для случая примера 1, приведенного в начале этого параграфа, имеем По формуле (1) получаем Вероятность Р(А и В) легко вычисляется и непосредственно.

Пример 3. Вероятность изготовления годного изделия данным станком равна 0,9. Вероятность появления изделия 1-го сорта среди годных изделии есть 0,8. Определить вероятность изготовления изделия 1-го сорта данным станком.

Решение. Событие В - изготовление годного изделия данным станком, событие А - появление изделия 1-го сорта. Здесь Подставляя в формулу (1), получаем искомую вероятность

Теорема 2. Если событие А может осуществиться только при выполнении одного из событий которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Формулд (8) называется формулой полной вероятности. Доказательство. Событие А может произойти при выполнении любого из совмещенных событий

Следовательно, по теореме о сложение вероятностей получаем

Заменяя слагаемые правой части по формуле (1), получим равенство (8).

Пример 4. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле при втором при третьем При одном попадании вероятность поражения цели при двух попаданиях , при трех попаданиях Определить вероятность пфаженйя цели при трех выстрелах (событие А).

Событие. Пространство элементарных событий. Достоверное событие, невозможное событие. Совместные, несовместные события. Равновозможные события. Полная группа событий. Операции над событиями.

Событие - это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит , в зависимости от природы самого события.

Под элементарными событиями , связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий.

Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы - точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями.

Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет; (обозначается E).

Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти ; (обозначается U). Например, появление одного из шести очков во время одного броска игрального кубика - достоверное событие, а появление 8 очков - невозможное.

Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Начало формы

Конец формы

Событие - это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит , в зависимости от природы самого события. События обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, C,... Любое событие происходит вследствие испытания . Например, подбрасываем монету - испытание, появление герба - событие; достаем лампу из коробки - испытание, она бракованная - событие; вынимаем наугад шарик из ящика - испытание, шарик оказался черного цвета - событие. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти во время данного испытания. Например, вынимая наугад одну карту из колоды, вы взяли туз; стреляя, стрелок попадает в цель. Теория вероятности изучает только массовые случайные события. Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет; (обозначается E). Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти ; (обозначается U). Например, появление одного из шести очков во время одного броска игрального кубика - достоверное событие, а появление 8 очков - невозможное. Равновозможные события - это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще другого во время многочисленных испытаний, которые проводятся с одинаковыми условиями. Попарно несовместимые события - это события, два из которых не могут произойти вместе. Вероятность случайного события - это отношение числа событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех равновозможных несовместимых событий: P(A) = где A - событие; P(A) - вероятность события; N - общее число равновозможных и несовместимых событий; N(A) - число событий, которые благоприятствуют событию A. Это - классическое определение вероятности случайного события. Классическое определение вероятности имеет место для испытаний с конечным числом равновозможных результатов испытания. Пусть сделано n выстрелов по мишени, из которых оказалось m попаданий. Отношение W(A) = называется относительной статистической частотой наступления события A. Следовательно, W(A) - статистическая частота попадания. При проведении серии выстрелов (табл.1) статистическая частота будет колебаться около определенного постоянного числа. Это число целесообразно принять за оценку вероятности попадания. Вероятностью события A называется то неизвестное число P, около которого собираются значения статистических частот наступления события A при возрастании числа испытаний. Это - статистическое обозначение вероятности случайного события.

Операции над событиями

Под элементарными событиями, связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий. Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы - точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями. Все известные отношения и операции над множествами переносятся на события. Говорят, что событие A является частным случаем события B (или B является результатом A), если множество A является подмножеством B. Обозначают это отношение так же, как для множеств: A ⊂ B или B ⊃ A. Таким образом, отношение A ⊂ B означает, что все элементарные события, входящие в A, входят также в B, то есть при наступлении события A наступает также событие B. При этом, если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B. Событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда событие A не происходит, называется противоположным событию A. Поскольку в каждом испытании происходит одно и только одно из событий - A или A, то P(A) + P(A) = 1, или P(A) = 1 − P(A). Объединением или суммой событий A и B называется событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда или происходит событие A, или происходит событие B, или происходят A и B одновременно. Это обозначается C = A ∪ B или C = A + B. Объединением событий A 1 , A 2 , ... A n называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Обозначается объединение событий A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n , или A k , или A 1 + A 2 + ... + A n . Пересечением или произведением событий A и B называется событие D, которое происходит тогда и только тогда, когда события A и B происходят одновременно, и обозначается D = A ∩ B или D = A × B. Совмещением или произведением событий A 1 , A 2 , ... A n называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие A 1 , и событие A 2 , и т.д., и событие A n . Обозначается совмещение так: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n или A k , или A 1 × A 2 × ... × A n .

Тема № 2 . Аксиоматическое определение вероятности. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного из событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его качественно.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, то есть:

Где P(A) – вероятность события А.

Число случаев благоприятствующих событию А

Общее число случаев.

Статистическое определение вероятности:

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях, то есть:

Где - статистическая вероятность события А.

Относительная частота(частость) события А.

Число испытаний, в которых появилось события A

Общее число испытаний.

В отличие от «математической» вероятности , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Если есть доля случаев, благоприятствующих событию А, которая определяется непосредственно, без каких-либо испытаний, то есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событие А появилось.

Геометрическое определение вероятности:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области благоприятствующей появлению события А, к мере всех области, то есть:

В одномерном случае:

Следует оценить вероятность попадания точки на CD/

Оказывается эта вероятность не зависит от места нахождения CD на отрезке АВ, а зависит лишь от его длины.

Вероятность попадания точки не зависит ни от форм, ни от месте нахождения В на А, а зависит лишь от площади данного сегмента.

Условная вероятность

Вероятность называется условной , если она вычисляется при определённых условиях и обозначается:

Это вероятность события А. Вычисляется при условии, что событие В уже произошло.

Пример. Производим испытание, извлекаем две карты из колоды: Первая вероятность является безусловной.

Вычисляем вероятность извлечения туза из колоды:

Вычисляем появление 2-тузув из колоды:

А*В – совместное появление событий

– теорема умножения вероятностей

Следствие:

Теорема умножения для совместного появления событий имеет вид:

То есть каждая последующая вероятность вычисляется с тем учётом, что все предыдущие условия уже произошли.

Независимость события:

Независимыми называются 2 события, если появление одного не противоречит появлению другого.

Например, если тузы из колоды извлекаются повторно, тогда они между собой независимы. Повторно, то есть карту посмотрели и вернули обратно в колоду.

Совместные и несовместные события:

Совместными называются 2 события, если появление одного из них не противоречит появлению другого.

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность появления одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного появления.

Для трёх совместных событий:

Несовместными называются события, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность суммы событий:

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице:

Следствие 2:

Замечание: Следует подчеркнуть, что рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий.

Вероятность противоположных событий:

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Одно из двух противоположных событий обозначено через А , другое – через .

Пример: Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если A – попадание, то – промах.

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Замечание 1: Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q Таким образом, в силу предыдущей теоремы:

Замечание 2: При решении задач на отыскание вероятности события A часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле:

Вероятность появления хотя бы одного события:

Допустим, что в результате эксперимента может появиться одно, какая-то часть или ни одно событие.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного события из совокупности независимых событий равна разности между единицей и их вероятностью не появления событий .

Нередко в жизни мы сталкиваемся с тем, что нужно оценить шансы наступления какого-либо события. Стоит ли покупать лотерейный билет или нет, каков будет пол третьего ребенка в семье, будет ли завтра ясная погода или снова пойдет дождь - таких примеров можно привести бесчисленное множество. В самом простом случае следует разделить число благоприятных исходов на общее число событий. Если в лотерее 10 билетов выигрышных, а всего их 50, то шансы получить приз равны 10/50 = 0,2, то есть 20 против 100. А как поступать в том случае, если есть несколько событий, и они тесно связаны между собой? В этом случае нас будет интересовать уже не простая, а условная вероятность. Что это за величина и как ее можно посчитать - об этом как раз и будет рассказано в нашей статье.

Понятие

Условная вероятность - это шансы наступления определенного события при условии, что другое связанное с ним событие уже произошло. Рассмотрим простой пример с бросанием монетки. Если жеребьевки еще не было, то шансы выпадения орла или решки будут одинаковыми. Но если раз пять подряд монетка ложилась гербом вверх, то согласитесь ожидать 6-го, 7-го, а тем более 10-го повторения такого исхода будет нелогично. С каждым повторным разом выпадения орла, шансы появления решки растут и рано или поздно она-таки выпадет.

Формула условной вероятности

Давайте теперь разберемся с тем, как эта величина рассчитывается. Обозначим первое событие через В, а второе через А. Если шансы наступления В отличны от нуля, то тогда будет справедливым следующее равенство:

Р (А|В) = Р (АВ) / Р (В), где:

• Р (А|В) - условная вероятность итога А;
• Р (АВ) - вероятность совместного появления событий А и В;
• Р (В) - вероятность события В.

Слегка преобразовав данное соотношение получим Р (АВ) = Р(А|В) * Р (В). А если применить то можно вывести формулу произведения и использовать ее при произвольном числе событий:

Р (А 1 , А 2 , А 3 ,…А п) = Р (А 1 |А 2 …А п)*Р(А 2 |А 3 …А п) * Р (А 3 |А 4 …А п)… Р (А п-1 |А п) * Р (А п).

Практика

Чтобы было легче разобраться с тем, как рассчитывается условная рассмотрим парочку примеров. Предположим имеется ваза, в которой находятся 8 шоколадных конфет и 7 мятных. По размерам они одинаковы и наугад последовательно вытаскиваются две из них. Какие будут шансы того, что обе из них окажутся шоколадными? Введем обозначения. Пусть итог А означает, что первая конфета шоколадная, итог В - вторая конфета шоколадная. Тогда получится следующее:

Р (А) = Р (В) = 8 / 15,

Р (А|В) = Р (В|А) = 7 / 14 = 1/2,

Р (АВ) = 8 /15 х 1/2 = 4/15 ≈ 0,27

Рассмотрим еще один случай. Предположим, есть двухдетная семья и нам известно, что, по крайней мере, один ребенок является девочкой.

Какова условная вероятность того, что мальчиков у этих родителей пока нет? Как и в предыдущем случае, начнем с обозначений. Пусть Р (В) - вероятность того, что в семье есть хотя бы одна девочка, Р (А|В) - вероятность того, что второй ребенок тоже девочка, Р (АВ) - шансы того, что в семье две девочки. Теперь произведем расчёты. Всего может быть 4 разных комбинаций пола детей и при этом лишь в одном случае (когда в семье два мальчика), девочки среди детей не будет. Поэтому вероятность Р (В) = 3/4, а Р (АВ) = 1/4. Тогда следуя нашей формуле получим:

Р (А|В) = 1/4: 3/4 = 1/3.

Интерпретировать результат можно так: если бы нам не было б известно о поле одного из детей, то шансы двух девочек были бы 25 против 100. Но поскольку мы знаем, что один ребенок девочка, вероятность того, что в семье мальчиков нет, возрастает до одной третьей.